선형 대수학

벡터는 힘(힘은 특정 방향과 세기로 가해진다)이나, 변위(Displacement ; 한 입자의 최종적인 이동방향 및 거리), 속도(빠르기와 방향)를 나타내는데 쓰인다. 또한 3차원 게임에서 플레이어가 바라보는 방향이나 다각형이 향한 방향, 광선이 이동하는 방향, 한 표면에서 광선이 반사되는 방향등 순수한 방향만 나타낼 때도 쓰인다. 벡터가 그려져 있는 위치는 중요하지 않다. 위치를 바꾸어도 벡터의 크기와 방향은 변하지 않기 때문이다. (크기와 방향은 벡터가 가지는 두가지 속성) 길이가 같고, 같은 방향을 가리키는 두 벡터가 있다면, 오직 그럴때만 상등(equal) 이다. 벡터는 위치가 중요하지 않으므로, 벡터를 다른 곳으로 병진이동(translation, 이동) 해도 그 벡터의 의미는 변하지 않는다. ( 이동은 길이나 방향에 영항을 주지 않기 때문이다. )

벡터와 좌표계

컴퓨터에서 벡터들을 기하학적으로 다루지 못하므로, 벡터들을 수치적으로 지정하는 방법이 필요하다. 그 방법은, 공간에 하나의 3차원 좌표계를 도입하고, 모든 벡터를 그 꼬리가 그 좌표계의 원점과 일치하도록 이동하는 것이다. ( 벡터의 시작점을 원점과 일치 시키는것 ) 그러면 하나의 벡터를 그머리(화살표 끝) 의 좌표로 규정할 수 있으며, 벡터를 v= (x,y,z) 로 표기할 수 있다. 이렇게 하면, 3차원 벡터를 컴퓨터 프로그램 안에서 부동소수점(float, double) 값 3개로 표현할 수 있다.

좌표계

좌표계 == 기준계 ( frame of reference ) == 공간 ( space ) == 좌표계 ( coordinate system )

꼬리가 좌표계 원점과 일치하도록 이동된 벡터를 가리켜서 “표준 위치에 있다” 고 말한다. 같은 벡터라고 해도 기준계가 다르면 좌표표현이 달라진다. 이를 온도에 비유할 수 있다. 물이 끓는 온도는 섭씨에서는 100도 이고 화씨에서는 212도 이다. 끓는 물의 물리적 온도는 측정 단위의 종류와는 무관하계 일정하다 (다른 척도를 사용한다고 해서 끓는점이 낮아지거나 올라가지는 않는다) 단지 사람들이 자신에게 익숙한 척도에 맞추어서 온도를 재는것일 뿐이다. ( 마치 같은 상태라도 상황에 따라 다르게 해석될 수 있다는 철학적인 해석의 여지가 있다. ) 마찬가지로, 화살표 선분에 내포된 벡터의 방향과 크기는 바뀌지 않는다. 좌표계에 따라 바뀌는 것은 벡터를 표현하는 좌표 뿐이다. 이것이 중요한 이유는 우리가 어떤 벡터를 좌표로 규정하거나 식별할 때 그 좌표가 절대적인 수치들이 아니라 항상 어떤 기준계에 상대적인 수치들임을 뜻하기 때문이다. 3차원 컴퓨터 그래픽에서는 여러개의 기준계들을 사용하는 경우가 많으므로, 벡터를 다룰 때에는 주어진 벡터의 좌표가 현재 어떤 기준계에 상대적인지를 기억할 필요가 있다. 또한 기준계에서 벡터 좌표를 다른 기준계로 변환하는 방법도 알아야 한다. 다

Linear Combination ( 선형결합 )

벡터를 스케일링하고 더하는것을 두 벡터의 선형 결합 (Linear Combination) 이라고 부릅니다.

기저 벡터 Basis Vector

우리는 어떤 벡터를 수적으로 표현할 때 암묵적으로 기저벡터에 의존한다. 어떤 벡터의 머리에 해당하는 좌표를 말할때, 해당 벡터의 머리가 (2,4) 인지, (5,-1) 인지 어떻게 논할수 있겠는가. 어떤 좌표계 ( 기저벡터 )에 대해서, 즉 흔히 말하는 x, y 축이 어떤 방향이냐에 따라 x,y 값이 달라지기 때문이다. 또한 , 해당 좌표는, 각 기저벡터의 스칼라배 를 더한것과 같다. 예를 들어, 어떤 좌표계 (기저벡터) x, y, z 축에 대해서, (2,3,4) 는 기저벡터 x축 (1,0,0) 의 2배 기저벡터 y축 (0,1,0) 의 3배 기저벡터 z축 (0,0,1) 의 4배 를 더한것과 같다.

                        
기저벡터 가 아래와 같을때, ( 좌표계 )
x = (1,0,0);
y = (0,1,0);
z = (0,0,1);

v1 = (2,3,4); 가 있다면,

v1 == 2x + 3y + 4z
v1 == 2(1,0,0) + 3(0,1,0) + 4(0,0,1) 이다.
v1 == (2,3,4)
                        
                    

이에 대해 다른 벡터를 기저 벡터로 삼는것이 가능하며, 그에 따른 완전히 새로운 좌표계를 얻을 수 있다 는 것을 알 수 있다.

각 기저벡터에 스칼라배 해서 얻을 수 있는 벡터는, 기저벡터가 이루는 평면위를 가리키는 벡터로, 무한이 얻을 수 있다.

벡터공간의 기저는 공간 전체를 생성하는 선형 독립인 벡터의 집합이다.

선형결합

두 벡터를 스케일하고 더하여 새 벡터를 얻는 모든 연산

av + bw

1차 결합 예를 들면 벡터를 ㄹㅁㅁㅁㅁㅁㅁㅁㅈ ㅈ제곱하거나 그런 고차원의 연산이 아니라, 2차 함수도 아니고 딱 벡터의 1차함수식 으로만 표현할 수 있는 모든 벡터 라고도 할 수 있다.

벡터의 선형 집합은 점으로 표현하는 것이 좋다. 벡터의 머리를 점으로 표현하고 벡터의 꼬리를 원점으로 이동시켜 벡터의 집합을 화살표가 아닌, 점으로 간결하게 표현할 수 있다. 그리고 이 점을 이어, 선으로 표현할 수도 있다. (1,0),(1.1,0),(1.2, 0),(2,0),(3,0)....(n,0) 을 이어서, x 축으로 표현 할 수 있고. 마찬가지로 (0,1) (0,2) (0,3) ... (0, n) 을 쭉 이어서 , y 축으로 표현할 수 있다. (qa,kb), (2qa,2kb), (3qa, 3kb) .... ( nqa, nkb) 를 쭉 이어서 또하나의 직선을 표현할 수 있다.

변환

기저벡터가 어떻게 변했는지만 알면 변환은 끝이다.

• Directed Line Segment (지향선분) : 방향이 있는 선분
• Unit Vector (단위벡터) : 크기가 1인 벡터
• Normalization (정규화) : 임의의 벡터를 단위벡터로 만드는 것
  
• Translation (병진이동) : 이동

벡터의 연산

                            
U DotProduct V
=== UxVx + UyVz + UzVz
== ||u|| * ||v|| * cos(a)

u = (Ux, Uy, Uz);
v = (Vx, Vy, Vz);
a = 두 벡터 사이의 각도 ;

// 벡터의 내적
u.v 
== UxVx + UyVy + UzVz;
== ||u||*||v||cos(a); // a 는 u 와 v 사이의 0<= a <= pi 를 만족하는 각도이다.

if( ||u|| == 1 && ||v|| == 1 )
{ 1 * 1 * cos(a) = cos(a) ; } // 만약 두 벡터가 단위 벡터라면, 벡터의 내적은 cos(a) 이다.
// 그렇다면, cos(a) 가 0 이라면, 두 벡터는 직교 , 한다는것을 알 수 있다.

UxVx + UyVy + UzVz == ||u||*||v||cos(a)
내적한 결과가 0 이라면, 두 벡터는 직교이다.
                            
                        

                            
U = (Ux, Uy, Uz)
V = (Vx, Vy, Vz)

W = U CrossProduct V = ( UyVz - UzVy , UxVz - UzVx , UxVy - UyVx )
                            
                        

                            

U CrossProduct V ≠ V CrossProduct U
U CrossProduct V == -V CrossProduct U                                
                            
                        

                            
U = ( Ux , Uy ) 일때
V = ( -Uy , Ux ) 이다.

// 증명
U DotProduct V = Ux(-Uy) + (UyUx) = 0
                            
                        

3D Object 의 좌표계 기저벡터 LocalX, LocalY, LocalZ 로 이루어진 3차원 공간 LocalSpace 의 벡터 Vector A 의 수치값은 기저벡터 WorldX, WorldY, WorldZ 로 이루어진 3차원 공간 WorldSpace 에서의 Vector A 의 수치값과 다르다. 벡터의 기준이 되는 기저벡터 (좌표계) 에 따라, 같은 벡터라도 수치가 다를 수 있다는 것이다.

방정식 계

또한 선형대수가 훨씬 광범위하게 적용가능하다고 하는 주된 이유는, 어떤 기술적 분야이든지 필요하다고 하는 이유는, 어떤 방정식계 ( System of Equalation ) 이든지 해결할 수 있기 때문이다.

스케일된 변수를 더하는 게 전부인 방정식을 아래와 같이 표현할 수 있다. 좌변에는 변수항을 열에 맞추워 배치하고, 우변에는 상수항을 배치한다. (어떤 지수함수나, 변수끼리의 곱이 없는 방정식만) 이런 변수들을 조직화 한것이 일종의 특수한 방정식 계라고 할 수 있다.

2x + 5y + 3z = -3 4x + 0y + 8z = 0 1x + 3y + 0z = 2

선형 방정식계 ( Linear System of Equation ) 이렇게 하면, 행렬-벡터 곱셈이랑 비슷해 보인다.

열공간

집합 선형 변환으로 나올 수 있는 집합

NullSpace,Kernel

선형변환의 결과가 0이 되는 해의 집합